Nos exercícios 17. a 22., encontre f circ g e g circ f e seus domínios.
f(x)=tan x, g(x)=raiz[3]x

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar as composições fcirc g e gcirc f e os domínios de cada uma. Aqui o conteúdo é composição de funções e domínio de funções elementares. Vamos usar a definição
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r), (gcirc f)(x)=gl(f(x)r),
e lembrar que
tan x está definida em Rsetminustfracpi2+kpi:kinZ
e raiz[3]x está definida em todo R.

Passo 2

Para fcirc g substituímos g(x)=raiz[3]x em f, obtendo
(fcirc g)(x)=tanl(raiz[3]xr)
O domínio de fcirc g é o conjunto dos x tais que x pertence ao domínio de g (que é todo R) e, ao mesmo tempo, g(x) pertence ao domínio de f.

Passo 3

Como g(x)=raiz[3]x atinge todos os reais, a única restrição para tan(raiz[3]x) é evitar
raiz[3]x=pi2+kpi, kinZ
Isso equivale a
x=l(tfracpi2+kpir)^3
Logo
dom(fcirc g) =R,setminus!l(tfracpi2+kpi)^3:kinZr

Passo 4

Para gcirc f substituímos f(x)=tan x em g, ficando
(gcirc f)(x)=raiz[3]tan x
Aqui o domínio é o conjunto dos x em que tan x está definido (já que raiz[3],cdot, aceita todo real). Assim temos
dom(gcirc f) =R,setminus!ltfracpi2+kpi:kinZr

Resposta

fcirc g(x)=tanl(raiz[3]xr),
dom(fcirc g)=Rsetminus(tfracpi2+kpi)^3:kinZ
gcirc f(x)=raiz[3]tan x,
dom(gcirc f)=Rsetminustfracpi2+kpi:kinZ

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