Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
integral-2^-1(1x^3+2x+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida que está pedindo para a gente usar o teorema da variação total. O que isso significa? Basicamente, vamos encontrar a antiderivada da função dentro da integral e depois calcular a diferença entre os valores dessa antiderivada nos limites de integração, que aqui são de -2 a -1. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de antiderivação para funções como 1x^3 , 2x e x .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de cada termo dentro da integral. Lembra que a antiderivada de 1x^n é x^-n+1-n+1 , desde que n neq 1 . Vamos aplicar isso:
  1. Para 1x^3 , temos n = 3 :
integral 1x^3 dx = integral x^-3 dx = x^-3+1-3+1 = x^-2-2 = -12x^2
  1. Para 2x , reconhecemos que 1x tem a antiderivada ln|x| :
integral 2x dx = 2 integral 1x dx = 2 ln|x|
  1. Para x , usamos a regra básica da antiderivação integral x^n dx = x^n+1n+1 :
integral x dx = x^1+11+1 = x^22

Passo 3

Agora, juntando as antiderivadas que encontramos:
integral ( 1x^3 + 2x + x ) dx = -12x^2 + 2 ln|x| + x^22 + C
Onde C é a constante de integração, que vamos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 4

Aplicando o teorema da variação total, que nos diz para calcular a diferença das antiderivadas nos limites de integração, temos:
[ -12x^2 + 2 ln|x| + x^22 ]-2^-1 = ( -12(-1)^2 + 2 ln|-1| + (-1)^22 ) - ( -12(-2)^2 + 2 ln|-2| + (-2)^22 )

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Para x = -1 :
-12(-1)^2 = -12(1) = -12
2 ln|-1| = 2 ln(1) = 2 times 0 = 0
(-1)^22 = 12
Então, somando:
-12 + 0 + 12 = 0
Para x = -2 :
-12(-2)^2 = -12(4) = -18
2 ln|-2| = 2 ln(2)
(-2)^22 = 42 = 2
Então, somando:
-18 + 2 ln(2) + 2 = 2 ln(2) + 158

Resposta

Subtraindo os valores, temos:
0 - ( 2 ln(2) + 158 ) = -2 ln(2) - 158
Portanto, o valor da integral é -2 ln(2) - 158 .

Exercícios relacionados