Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida que está pedindo para a gente usar o teorema da variação total. O que isso significa? Basicamente, vamos encontrar a antiderivada da função dentro da integral e depois calcular a diferença entre os valores dessa antiderivada nos limites de integração, que aqui são de -2 a -1. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de antiderivação para funções como
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de cada termo dentro da integral. Lembra que a antiderivada de
é
, desde que
. Vamos aplicar isso:
- Para
, temos :
- Para
, reconhecemos que tem a antiderivada :
- Para
, usamos a regra básica da antiderivação :
Passo 3
Agora, juntando as antiderivadas que encontramos:
Onde
é a constante de integração, que vamos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 4
Aplicando o teorema da variação total, que nos diz para calcular a diferença das antiderivadas nos limites de integração, temos:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
Para
:
Então, somando:
Para
:
Então, somando:
Resposta
Subtraindo os valores, temos:
Portanto, o valor da integral é
.