Encontre a primitiva mais geral da função, isto é, a integral indefinida de f(x) com respeito a x: integral f(x) d x=F(x)+C, onde F^prime(x)=f(x).
f(x)=x^3 / 4+(34)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa aqui é encontrar a primitiva mais geral da função f(x) = x^3/4 + (34)^x . Isso significa que precisamos calcular a integral indefinida de f(x) em relação a x , ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x) = f(x) . Para isso, vamos usar regras básicas de integração que envolvem potências de x e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, já que a função f(x) é a soma de duas funções:
integral f(x) , dx = integral x^3/4 , dx + integral (34)^x , dx
Isso facilita a resolução, pois podemos integrar cada termo individualmente.

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo: integral x^3/4 , dx . Aqui, usamos a regra da potência para integrais, que diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
desde que n neq -1 . No nosso caso, n = 34 , então:
integral x^3/4 , dx = x^3/4 + 13/4 + 1 + C = x^7/47/4 + C = 47x^7/4 + C

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo: integral (34)^x , dx . Para funções exponenciais da forma a^x , a integral é dada por:
integral a^x , dx = a^xln(a) + C
Aqui, a = 34 , então:
integral (34)^x , dx = (34)^xln(34) + C
Lembre-se que ln(34) é negativo porque 34 < 1 , mas ainda assim a fórmula é válida.

Passo 5

Agora, juntamos as duas integrais que calculamos:
integral f(x) , dx = 47x^7/4 + (34)^xln(34) + C
Onde C é a constante de integração que representa todas as primitivas possíveis da função f(x) .

Resposta

A primitiva mais geral de f(x) é:
F(x) = 47x^7/4 + (34)^xln(34) + C

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