Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a integral definida de
usando o teorema da variação total. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente do Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Vamos precisar entender como encontrar antiderivadas e aplicar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Isso funciona porque a integral da soma é igual à soma das integrais.
Passo 3
Agora, vamos resolver cada integral individualmente começando por
.
A antiderivada de
é simplesmente
, já que a derivada de
é
. Assim:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.
Passo 4
Em seguida, vamos resolver
.
Para uma função do tipo
, onde
é uma constante diferente de -1, a antiderivada é:
Aplicando isso com
:
Passo 5
Agora que temos as antiderivadas, aplicamos os limites de integração de 0 a 2 usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular a antiderivada no ponto superior menos a antiderivada no ponto inferior.
Para
:
Para
:
Passo 6
Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral é
.