Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
integral0^2(e^x+x^e) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a integral definida de integral0^2 (e^x + x^e) , dx usando o teorema da variação total. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente do Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Vamos precisar entender como encontrar antiderivadas e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral0^2 (e^x + x^e) , dx = integral0^2 e^x , dx + integral0^2 x^e , dx
Isso funciona porque a integral da soma é igual à soma das integrais.

Passo 3

Agora, vamos resolver cada integral individualmente começando por integral e^x , dx .
A antiderivada de e^x é simplesmente e^x , já que a derivada de e^x é e^x . Assim:
integral e^x , dx = e^x + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 4

Em seguida, vamos resolver integral x^e , dx .
Para uma função do tipo x^n , onde n é uma constante diferente de -1, a antiderivada é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso com n = e :
integral x^e , dx = x^e+1e+1 + C

Passo 5

Agora que temos as antiderivadas, aplicamos os limites de integração de 0 a 2 usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular a antiderivada no ponto superior menos a antiderivada no ponto inferior.
Para integral0^2 e^x , dx :
e^2 - e^0 = e^2 - 1
Para integral0^2 x^e , dx :
2^e+1e+1 - 0^e+1e+1 = 2^e+1e+1 - 0 = 2^e+1e+1

Passo 6

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
(e^2 - 1) + 2^e+1e+1 = e^2 + 2^e+1e+1 - 1

Resposta

O valor da integral é e^2 + dfrac2^e+1e+1 - 1 .

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