Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
integral1^4 12 raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral1^4 12 raizx , dx usando o teorema da variação total. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a calcular integrais definidas encontrando antiderivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral: 12 raizx . Sabemos que raizx = x^1/2 , então podemos reescrever a função assim:
12 raizx = 12 x^-1/2
Isso facilita na hora de calcular a antiderivada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de 12 x^-1/2 . A regra para integrar x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando essa regra:
integral 12 x^-1/2 , dx = 12 cdot x^(-1/2)+1(-1/2)+1 + C = 12 cdot x^1/21/2 + C = x^1/2 + C = raizx + C
Então, a antiderivada de 12 raizx é raizx .

Passo 4

Com a antiderivada encontrada, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde F(x) é a antiderivada de f(x) .

Passo 5

Substituindo os limites de integração na antiderivada:
F(4) - F(1) = raiz4 - raiz1 = 2 - 1 = 1

Resposta

O valor da integral é 1.

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