Determine as derivadas parciais da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y)=(4 x y-3 y^3)^3+5 x^2 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=(4xy-3y^3)^3+5x^2y em todo domínio R^2. Vamos usar a regra da cadeia para derivar a parte elevada ao cubo e as regras de soma e produto para o termo 5x^2y.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante. Definimos
u = 4xy - 3y^3,
de modo que f = u^3 + 5x^2y.
Pela regra da cadeia,
partial (u^3)partial x = 3,u^2,partial upartial x,
e como partial upartial x=4y, temos
partial (u^3)partial x =3,(4xy - 3y^3)^2cdot 4y
Além disso,
partial (5x^2y)partial x =5cdot 2xcdot y =10xy
Somando as duas partes,
partial fpartial x =12y,(4xy - 3y^3)^2 + 10xy

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante. Usamos de novo u=4xy-3y^3.
Pela regra da cadeia,
partial (u^3)partial y =3,u^2,partial upartial y,
e como
partial upartial y =4x - 9y^2,
obtemos
partial (u^3)partial y =3,(4xy - 3y^3)^2,(4x - 9y^2)
Para o termo 5x^2y,
partial (5x^2y)partial y =5x^2
Somando,
partial fpartial y =3,(4xy - 3y^3)^2,(4x - 9y^2) + 5x^2

Resposta

partial fpartial x=12y,(4xy - 3y^3)^2 + 10xy
partial fpartial y=3,(4xy - 3y^3)^2,(4x - 9y^2) + 5x^2

Exercícios relacionados