Determine as derivadas parciais da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y)=x^y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=x^y
em todos os pontos do seu domínio. Para que x^y esteja bem definido (para yinR), precisamos de x>0. Assim, nosso domínio é
(x,y)mid x>0,;yinR
O que vamos usar: reescrever x^y como exponencial de base e e aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Reescrevemos
f(x,y)=x^y=e^yln x
Isso facilita porque agora lidamos com uma função composta e^u, com u=yln x.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a x. Pela regra da cadeia,
partial fpartial x =partialpartial xe^yln x =e^yln x,partialpartial x(yln x)
Como y é tratado como constante ao derivar em x, temos partialx(yln x)=ycdot1x. Logo,
partial fpartial x =e^yln xcdot y1x =x^y,yx =y,x^,y-1

Passo 4

Calculamos a derivada parcial em relação a y. Novamente pela regra da cadeia,
partial fpartial y =partialpartial ye^yln x =e^yln x,partialpartial y(yln x)
Agora partialy(yln x)=ln x, pois ln x é constante em y. Assim,
partial fpartial y =e^yln xcdotln x =x^y,ln x

Resposta

partial fpartial x(x,y)=y,x^,y-1,
partial fpartial y(x,y)=x^y,ln x,
para todo (x,y) com x>0 e yinR.

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