Determine as derivadas parciais da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y)=x sen y / cos (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=xsen ycosl(x^2+y^2r)
em todos os pontos do domínio, isto é, em (x,y)mid cos(x^2+y^2)neq0.
O conteúdo envolvido é derivada parcial usando regra do produto (ou quociente) e regra da cadeia.

Passo 2

Para organizar a conta, escrevemos
f(x,y)=u(x,y),v(x,y),
onde
u(x,y)=xsen y, v(x,y)=secl(x^2+y^2r)
e lembramos que sec t=1/cos t.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais intermediárias de u e de v.
Para u(x,y)=xsen y:
ux=sen y, uy=xcos y
Para v(x,y)=sec(g) com g(x,y)=x^2+y^2:
ddgsec g=sec gtan g, gx=2x, gy=2y
Logo, por regra da cadeia,
vx=secl(x^2+y^2r),tanl(x^2+y^2r)cdot2x,
vy=secl(x^2+y^2r),tanl(x^2+y^2r)cdot2y

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto para obter fx:
fx = ux,v + u,vx
Substituindo,
fx =sen y;secl(x^2+y^2r) + xsen y;l[2x,secl(x^2+y^2r)tanl(x^2+y^2r)r]

Passo 5

De modo análogo,
fy = uy,v + u,vy,
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fy = xcos y;secl(x^2+y^2r) + xsen y;l[2y,secl(x^2+y^2r)tanl(x^2+y^2r)r]

Resposta

partial fpartial x(x,y) =sen y;secl(x^2+y^2r) +2x^2sen y;secl(x^2+y^2r)tanl(x^2+y^2r),
partial fpartial y(x,y) =xcos y;secl(x^2+y^2r) +2xysen y;secl(x^2+y^2r)tanl(x^2+y^2r),
para todo (x,y) tal que cos(x^2+y^2)neq0.

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