Nos Exercícios de I a 12, use os resultados do exercício indicado nos Exercícios 19.1 para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Então calcule a integral de linha, aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.3e usando a função potencial encontrada no exercício indicado. Em cada exercício, C é uma curva qualquer seccionalmente suave, ligando o ponto A ao ponto B.
integralc y z d x+x z d y+x y d z ; A é (0,-2,5) e B é (4,1,-3); Exercício 28.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCy,z,dx + x,z,dy + x,y,dz
onde C é qualquer curva que liga A=(0,-2,5) a B=(4,1,-3). O conteúdo é campos vetoriais conservativos: vamos mostrar que o campo
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(yz,;xz,;xyr)
é conservativo (isto é, sua integral independe do caminho), encontrar a função potencial varphi e então usar o Teorema do Gradiente:
integralCFcdot dr=varphi(B)-varphi(A)

Passo 2

Verificamos se nablatimesF=0.
Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y=partialpartial y(yz)=z, partial Qpartial x=partialpartial x(xz)=z,
partial Ppartial z=partialpartial z(yz)=y, partial Rpartial x=partialpartial x(xy)=y,
partial Qpartial z=partialpartial z(xz)=x, partial Rpartial y=partialpartial y(xy)=x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, partial P/partial z=partial R/partial x e partial Q/partial z=partial R/partial y, segue nablatimesF=0. Além disso, o domínio de F é todo R^3, que é simplesmente conexo, logo F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial varphi(x,y,z) tal que nablavarphi=F, integramos P=yz em relação a x:
varphi(x,y,z)=integral yz,dx = xyz + h(y,z),
onde h depende só de y,z. Agora,
partial varphipartial y=xz + partial hpartial y stackrel!=Q=xz Rightarrow partial hpartial y=0
partial varphipartial z=xy + partial hpartial z stackrel!=R=xy Rightarrow partial hpartial z=0
Logo h é constante, que podemos tomar zero. Assim
varphi(x,y,z)=xyz

Passo 4

Pelo Teorema do Gradiente,
integralCFcdot dr =varphi(B)-varphi(A) =(4cdot1cdot(-3)) - l(0cdot(-2)cdot5r) =-12 - 0 =-12

Resposta

-12

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