Nos Exercícios de I a 12, use os resultados do exercício indicado nos Exercícios 19.1 para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Então calcule a integral de linha, aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.3e usando a função potencial encontrada no exercício indicado. Em cada exercício, C é uma curva qualquer seccionalmente suave, ligando o ponto
ao ponto
.
é
e
é
; Exercício 28.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é qualquer curva que liga
a
. O conteúdo é campos vetoriais conservativos: vamos mostrar que o campo
é conservativo (isto é, sua integral independe do caminho), encontrar a função potencial
e então usar o Teorema do Gradiente:
Passo 2
Verificamos se
.
Calculamos as derivadas parciais:
Calculamos as derivadas parciais:
Como
,
e
, segue
. Além disso, o domínio de
é todo
, que é simplesmente conexo, logo
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
onde
depende só de
. Agora,
Logo
é constante, que podemos tomar zero. Assim
Passo 4
Pelo Teorema do Gradiente,