Determine as derivadas parciais da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y)=(4 x y-3 y^3)^3+x^2 arctg xy

Passo 1

Resumindo, temos a função
f(x,y)=l(4xy-3y^3r)^3 ;+; x^2arctan!l(tfracxyr)
e queremos as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para isso vamos usar a regra da cadeia na primeira parcela e, na segunda, produto e regra da cadeia aplicadas à função arctan(x/y). O domínio natural de f exige yneq0 para que x/y esteja bem definido.

Passo 2

Cálculo de partial f/partial x.
1. Primeira parcela:
partialpartial xl(4xy-3y^3r)^3 =3l(4xy-3y^3r)^2cdotpartialpartial x(4xy-3y^3) =3l(4xy-3y^3r)^2cdot(4y) =12yl(4xy-3y^3r)^2
2. Segunda parcela (produto x^2cdotarctan(x/y)):
partialpartial xl[x^2arctan(x/y)r] =2xarctan!l(tfracxyr) +x^2cdot1/y1+(x/y)^2 =2xarctan!l(tfracxyr) +x^2,yx^2+y^2
Somando os dois resultados, obtemos
partial fpartial x =12yl(4xy-3y^3r)^2 +2xarctan!l(tfracxyr) +x^2,yx^2+y^2

Passo 3

Cálculo de partial f/partial y.
1. Primeira parcela:
partialpartial yl(4xy-3y^3r)^3 =3l(4xy-3y^3r)^2cdotpartialpartial y(4xy-3y^3) =3l(4xy-3y^3r)^2cdot(4x-9y^2)
2. Segunda parcela:
partialpartial yl[x^2arctan(x/y)r] =x^2cdot-,x/y^21+(x/y)^2 =-x^3x^2+y^2
Logo
partial fpartial y =3l(4xy-3y^3r)^2(4x-9y^2) -x^3x^2+y^2

Resposta

boxed partial fpartial x(x,y) &=12yl(4xy-3y^3r)^2 +2xarctan!l(tfracxyr) +x^2,yx^2+y^2,[6pt] partial fpartial y(x,y) &=3l(4xy-3y^3r)^2(4x-9y^2) -x^3x^2+y^2, para yneq0 ]

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