Use o teorema fundamental do cálculo para encontrar a derivada da função g.
g(x)=integralx^2 u^31+u^2 d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função g(x) , que é definida como uma integral:
g(x) = integralx^2 u^31+u^2 , du
Aqui, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga derivadas e integrais. Precisamos entender esse teorema e como aplicá-lo para achar g'(x) .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Ele tem duas partes, mas a que interessa aqui é a primeira:
Se G(x) = integrala^x f(u) , du , então a derivada de G em relação a x é G'(x) = f(x) .
Mas atenção! No nosso caso, o limite inferior é x e o limite superior é uma constante 2 . Precisamos adaptar o teorema para essa situação.

Passo 3

Quando a variável x está no limite inferior da integral, a derivada fica um pouco diferente. A regra geral é:
ddx ( integralx^b f(u) , du ) = -f(x)
O sinal negativo aparece porque x está no limite inferior. Então, aplicando isso ao nosso g(x) :
g'(x) = -x^31 + x^2

Resposta

A derivada de g(x) é
g'(x) = -x^31 + x^2

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