Na questão anterior, a regra de Dulong e Petit,
, para temperaturas baixas não é válida. Determine
para temperaturas baixas, considerando a mesma frequência em cada mola e usando a energia quântica para cada mola.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de informação:
- Pede determinar
para temperaturas baixas usando a energia quântica de cada mola . - Informação adicional (assumida como no modelo de Einstein): o sólido tem
átomos e cada átomo contribui com três modos oscilatórios independentes (três molas, uma para cada direção). Assim há osciladores idênticos, todos com a mesma frequência . - Objetivo prático: achar
(capacidade térmica a volume constante) no regime de baixas temperaturas, obtendo a expressão exata para e o seu comportamento assintótico quando é muito menor que a energia quântica . - Dados a usar (assunto que vamos construir): energia quantizada por oscilador, mecânica estatística canônica (função partição), média de energia e derivação em relação a
.
Passo 2
Partição canônica de um oscilador harmônico quântico (passo a passo):
- Defino
, onde é a constante de Boltzmann e a temperatura. - Para um oscilador com níveis
( ), a função partição (de um único oscilador) é a soma das contribuições de todos os níveis:
- Faço a soma geométrica: fatorizo
e uso para com . Assim
Passo 3
Energia média de um oscilador a partir de
:
- A energia média é
. Calculo :
- Derivando em relação a
:
- Interpretação:
tem duas partes: a energia de ponto zero (independente de ) e a parte térmica que depende de .
Passo 4
Energia interna total do sólido e observação sobre o termo de ponto zero:
- Como há
osciladores idênticos, a energia interna total é
- Para
interessa a variação de com . O termo de ponto zero não depende de , então não contribui para . Logo podemos focar na parte térmica
Passo 5
Cálculo de
de forma explícita:
- Trabalho com a variável adimensional
Observação:
cresce quando
diminui; regime de baixas temperaturas corresponde a
.
- Reescrevo a parte térmica por oscilador como
. Então para :
- Faço a derivada em relação a
. Usando (porque ):
- Calculando
. Substituo:
- Agora substituo
e uso . Portanto . Assim
- Reescrevendo em termos de
:
ou usando
,
Passo 6
Comportamento para baixas temperaturas (
, ou
) — desenvolvimento assintótico:
- Quando
temos , então e
- Substituindo na expressão de
,
- Voltando à variável física,
- Interpretação intuitiva: em baixas temperaturas a capacidade térmica decai exponencialmente porque a população térmica dos níveis excitados é muito baixa (barreira de energia
); isto explica a falha da lei de Dulong–Petit (constante) em baixas T.
Passo 7
Resumo físico e comparação rápida com Dulong–Petit:
- A expressão exata para
(modelo de Einstein) é
- Limite alto de temperatura (
, ) recupera a lei de Dulong–Petit: . - Limite baixo (
) dá a queda exponencial mostrada acima, que é o que corrige a previsão clássica para baixas temperaturas.