Determine as derivadas parciais fx, fy, fx x, fx y, fy x e fy y de
f(x, y)=x(x+y)^2

Passo 1

Neste exercício, temos a função f(x,y)=\frac{x}{(x+y)^{2}}. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem (f_{x}, f_{y}) e de segunda ordem (f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}). Vamos usar as regras do produto, do poder e da cadeia em funções de duas variáveis.

Passo 2

Escrevendo f como produto: f(x,y)=x,(x+y)^{-2}, aplicamos a regra do produto para f_{x}.

Passo 3

Para f_{x}:
fx=partialpartial x[x],(x+y)^-2+x,partialpartial x[(x+y)^-2] = (x+y)^-2+x(-2)(x+y)^-3 = (x+y)-2x(x+y)^3 = y-x(x+y)^3

Passo 4

Para f_{y}: x é constante, então usamos apenas a regra da cadeia sobre (x+y)^{-2}:
fy=x,(-2)(x+y)^-3= -2x(x+y)^3

Passo 5

Para f_{xx}, derivamos f_{x}=(y-x)(x+y)^{-3} em relação a x usando produto e cadeia:
fxx=(-1)(x+y)^-3+(y-x)(-3)(x+y)^-4 = -(x+y)-3(y-x)(x+y)^4 = 2x-4y(x+y)^4 = 2(x-2y)(x+y)^4

Passo 6

Para f_{xy}, derivamos f_{x} em relação a y:
fxy=1cdot(x+y)^-3+(y-x)(-3)(x+y)^-4 = (x+y)-3(y-x)(x+y)^4 = 4x-2y(x+y)^4 = 2(2x-y)(x+y)^4

Passo 7

Para f_{yx}, derivamos f_{y}=-2x(x+y)^{-3} em relação a x:
fyx=-2(x+y)^-3-2x(-3)(x+y)^-4 = -2(x+y)+6x(x+y)^4 = 4x-2y(x+y)^4 = 2(2x-y)(x+y)^4, usando o Teorema de Clairaut confirmamos f_{yx}=f_{xy}.

Passo 8

Para f_{yy}, derivamos f_{y} em relação a y usando somente a cadeia:
fyy=-2x(-3)(x+y)^-4= 6x(x+y)^4

Resposta

fx(x,y)=y-x(x+y)^3, fy(x,y)=-2x(x+y)^3,
fxx(x,y)=2(x-2y)(x+y)^4, fxy(x,y)=2(2x-y)(x+y)^4,
fyx(x,y)=2(2x-y)(x+y)^4, fyy(x,y)=6x(x+y)^4

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