Determine as derivadas parciais
e
de
Passo 1
Neste exercício, temos a função f(x,y)=\frac{x}{(x+y)^{2}}. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem (f_{x}, f_{y}) e de segunda ordem (f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}). Vamos usar as regras do produto, do poder e da cadeia em funções de duas variáveis.
Passo 2
Escrevendo f como produto: f(x,y)=x,(x+y)^{-2}, aplicamos a regra do produto para f_{x}.
Passo 3
Para f_{x}:
Passo 4
Para f_{y}: x é constante, então usamos apenas a regra da cadeia sobre (x+y)^{-2}:
Passo 5
Para f_{xx}, derivamos f_{x}=(y-x)(x+y)^{-3} em relação a x usando produto e cadeia:
Passo 6
Para f_{xy}, derivamos f_{x} em relação a y:
Passo 7
Para f_{yx}, derivamos f_{y}=-2x(x+y)^{-3} em relação a x:
Passo 8
Para f_{yy}, derivamos f_{y} em relação a y usando somente a cadeia: