Verifique se as seguintes funções são contínuas:
em
?
em
Passo 1
O enunciado pede para checar se a função
é contínua em (0,0). O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar usar definição de limite em várias direções.
Passo 2
Para ser contínua em (0,0) precisamos ter
Então vamos examinar esse limite.
Passo 3
Uma maneira clássica é ver o limite ao longo de retas de inclinação
. Se
e
, temos
Esse valor não depende de
, mas depende de
.
Passo 4
Como para diferentes
obtemos valores distintos (por exemplo,
dá 1,
dá 0,
dá –1), o limite não é único. Logo
não existe.
Passo 5
Como o limite não existe (e portanto não vale 0), a função não satisfaz a condição de continuidade em (0,0).
Resposta
A função não é contínua em (0,0), pois o limite depende da direção e não coincide com f(0,0)=0.