Verifique se as seguintes funções são contínuas:
em f(x, y)=llx^2-y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) ?

Passo 1

O enunciado pede para checar se a função
f(x,y)= x^2 - y^2x^2 + y^2,&(x,y)neq(0,0) 0, & (x,y)=(0,0)
é contínua em (0,0). O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar usar definição de limite em várias direções.

Passo 2

Para ser contínua em (0,0) precisamos ter
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Então vamos examinar esse limite.

Passo 3

Uma maneira clássica é ver o limite ao longo de retas de inclinação m. Se y=mx e xneq0, temos
f(x,mx)=x^2 - m^2x^2x^2 + m^2x^2=1 - m^21 + m^2
Esse valor não depende de x, mas depende de m.

Passo 4

Como para diferentes m obtemos valores distintos (por exemplo, m=0 dá 1, m=1 dá 0, mtoinfty dá –1), o limite não é único. Logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe.

Passo 5

Como o limite não existe (e portanto não vale 0), a função não satisfaz a condição de continuidade em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0), pois o limite depende da direção e não coincide com f(0,0)=0.

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