Use a regra da cadeira para achar partial zpartial s e partial zpartial t :
z=sen theta cos phi, theta=s t^2, phi=s t^2

Passo 1

O enunciado dá a função
z = sen theta ,cos phi
com
theta = s,t^2, phi = s,t^2
e pede as derivadas parciais partial zpartial s e partial zpartial t.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de duas variáveis intermediárias.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de z em relação a theta e a phi.
Como z(theta,phi)=sen thetacdotcos phi, temos
partial zpartial theta = partialpartial thetal(sen thetar),cos phi = cos theta,cos phi,
partial zpartial phi = sen theta,partialpartial phil(cos phir) = -sen theta,sen phi

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de theta e phi em relação a s e a t:
partial thetapartial s = t^2, partial thetapartial t = 2,s,t,
partial phipartial s = t^2, partial phipartial t = 2,s,t

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial s:
partial zpartial s = partial zpartial theta,partial thetapartial s + partial zpartial phi,partial phipartial s = l(cos theta,cos phir),t^2 + l(-sen theta,sen phir),t^2

Passo 5

Fatorando t^2 e usando a identidade
costheta,cosphi-sentheta,senphi=cos(theta+phi), obtemos
partial zpartial s = t^2,[cos theta,cos phi-sen theta,sen phi] = t^2,cosl(theta+phir)
Substituindo theta=phi=s,t^2,
partial zpartial s = t^2,cosl(2,s,t^2r)

Passo 6

De modo análogo, para partial zpartial t:
partial zpartial t = partial zpartial theta,partial thetapartial t + partial zpartial phi,partial phipartial t = l(cos theta,cos phi-sen theta,sen phir),2,s,t
Logo,
partial zpartial t = 2,s,t,cosl(theta+phir) = 2,s,t,cosl(2,s,t^2r)

Resposta

partial zpartial s = t^2,cosl(2,s,t^2r), partial zpartial t = 2,s,t,cosl(2,s,t^2r)

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