Determine as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=e^x y^2, fx x y

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial fxxy da função
f(x,y)=e^x y^2
O conteúdo envolve derivadas parciais sucessivas, usando a regra da cadeia e, no último passo, a regra do produto.

Passo 2

Primeiro calculamos
fx=partialpartial xe^x y^2
Tratando y como constante e aplicando a regra da cadeia com u=x y^2, obtemos
fx=y^2e^x y^2

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a x para obter fxx:
fxx=partialpartial xl(y^2e^x y^2r)
Como y^2 é constante,
fxx=y^2cdotl(y^2e^x y^2r) =y^4e^x y^2

Passo 4

Finalmente calculamos
fxxy=partialpartial yl(y^4e^x y^2r)
Aqui usamos a regra do produto entre y^4 e e^x y^2:
– derivada de y^4 é 4y^3,
– derivada de e^x y^2 em relação a y é e^x y^2cdot 2x y (regra da cadeia).
Somando,
fxxy =4y^3e^x y^2+y^4l(2x y,e^x y^2r) =e^x y^2l(4y^3+2x y^5r)

Resposta

fxxy(x,y) =e^x y^2l(4y^3+2x y^5r)

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