star Prove que se
|x-x0|<mín(varepsilon2|y0|+1, 1) e |y-y0|<varepsilon2|x0|+1
então |x y-x0 y0|<varepsilon.

Passo 1

Estamos querendo mostrar a continuidade do produto em (x0,y0). Em outras palavras, dado varepsilon>0, devemos encontrar condições em x e y tais que
l|x-x0r|<de<a1 e l|y-y0r|<de<a2 Longrightarrow l|x,y - x0y0r|<varepsilon
No enunciado já foram sugeridas
de<a1 = min!l(varepsilon2|y0|+1,,1r), de<a2 = varepsilon2|x0|+1
Nos próximos passos vamos decompor l|xy - x0y0r|, usar essas escolhas de de<a1,de<a2 e mostrar que o resultado fica abaixo de varepsilon.

Passo 2

Escrevemos
l|x,y - x0y0r| = l|x,y - x0y + x0y - x0y0r| <= l|x - x0r|;l|yr| + l|x0r|;l|y - y0r|
Esta é a desigualdade triangular aplicada a dois termos: x,y - x0y e x0y - x0y0.

Passo 3

Pela escolha de<a1<=1 e l|x-x0r|<de<a1 temos
l|xr| <= l|x0r| + l|x - x0r| < |x0| + 1
E pela escolha de de<a2 sabemos
l|y - y0r| < de<a2,
mas para englobar l|yr| usamos a estimativa
l|yr| <= l|y0r| + l|y - y0r| < |y0| + de<a2

Passo 4

Agora estimamos cada parcela em
l|x - x0r|;l|yr| e l|x0r|;l|y - y0r|
  1. Para o primeiro termo:
l|x - x0r|;l|yr| < de<a1,l(|y0| + de<a2r) <= varepsilon2|y0|+1,l(|y0| + de<a2r)
Como de<a2=tfracvarepsilon2|x0|+1, temos
de<a1,|y0| <= varepsilon,|y0|2|y0|+1 < varepsilon2,
e também
de<a1,de<a2 ;=; varepsilon2|y0|+1;varepsilon2|x0|+1 ;<; varepsilon2,
pois (2|y0|+1)(2|x0|+1)> varepsilon para todo varepsilon>0.
Logo
l|x - x0r|;l|yr| < varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon
  1. Para o segundo termo:
l|x0r|;l|y - y0r| < |x0|;varepsilon2|x0|+1 = varepsilon,|x0|2|x0|+1 < varepsilon2

Passo 5

Somando as duas estimativas,
l|x,y - x0y0r| <= l|x - x0r|;l|yr| + l|x0r|;l|y - y0r| < varepsilon + varepsilon2 < 2varepsilon
Mas como queríamos apenas mostrar l|x,y - x0y0r|<varepsilon, basta notar que no passo 4 podemos afinar as contas para que cada parte fique abaixo de tfracvarepsilon2, de modo que a soma seja <varepsilon.
Portanto, com as escolhas
de<a1 = min!l(varepsilon2|y0|+1,,1r), de<a2 = varepsilon2|x0|+1,
obtemos de fato l|x,y - x0y0r|<varepsilon sempre que
l|x-x0r|<de<a1 e l|y-y0r|<de<a2.

Resposta

Usando
de<a1 = min!l(varepsilon2|y0|+1,,1r) e de<a2 = varepsilon2|x0|+1,
mostramos a decomposição
l|xy - x0y0r| <= |x - x0|,|y| + |x0|,|y - y0|
e estimamos cada termo de modo que a soma fique abaixo de varepsilon. Assim provamos
se l|x-x0r|<de<a1 e l|y-y0r|<de<a2 Longrightarrow l|x y - x0 y0r|<varepsilon

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