Prove que as funções dadas são diferenciáveis.
f(x, y)=e^x-y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=e^,x - y^2
é diferenciável em R^2. O conteúdo principal é o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e o critério de que se as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável.

Passo 2

Observe que podemos escrever f como composição
h:R^2toR, h(x,y)=x - y^2,
seguida de
g:RtoR, g(t)=e^,t
Como h é polinomial e g é a exponencial, ambas são funções diferenciáveis em todo seu domínio.

Passo 3

Pelo teorema da cadeia, f=gcirc h é diferenciável e suas derivadas parciais são dadas por
partial fpartial x(x,y) =dgdtl(h(x,y)r),partial hpartial x(x,y) =e^,x - y^2cdot 1 =e^,x - y^2,
partial fpartial y(x,y) =dgdtl(h(x,y)r),partial hpartial y(x,y) =e^,x - y^2cdot(-2y) =-2y,e^,x - y^2

Passo 4

As funções
(x,y)mapsto e^,x - y^2 e (x,y)mapsto -2y,e^,x - y^2
são contínuas em R^2. Pelo critério de que existência e continuidade das derivadas parciais implicam diferenciabilidade, concluímos que f é de classe C^1 em R^2.

Resposta

A função f(x,y)=e^,x - y^2 é diferenciável em todo R^2.

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