Prove que as funções dadas são diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
. O conteúdo principal é o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e o critério de que se as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável.
Passo 2
Observe que podemos escrever
como composição
seguida de
Como
é polinomial e
é a exponencial, ambas são funções diferenciáveis em todo seu domínio.
Passo 3
Pelo teorema da cadeia,
é diferenciável e suas derivadas parciais são dadas por
Passo 4
As funções
são contínuas em
. Pelo critério de que existência e continuidade das derivadas parciais implicam diferenciabilidade, concluímos que
é de classe
em
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo
.