Determine as derivadas parciais indicadas
f(x, y)=3 x y^4+x^3 y^2, fx x y e fy y y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x y^4+x^3y^2
e pede as derivadas parciais de terceira ordem fx x y e fy y y. Vamos usar as regras de diferenciação parcial: tratar a variável não diferenciada como constante e aplicar regra do poder e, quando necessário, produto.

Passo 2

Calculamos primeiro
fx=partialpartial x(3x y^4)+partialpartial x(x^3y^2).
Como y é constante:
partialpartial x(3x y^4)=3y^4, partialpartial x(x^3y^2)=3x^2y^2
Logo
fx=3y^4+3x^2y^2

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a x para obter fxx:
fxx=partialpartial x(3y^4)+partialpartial x(3x^2y^2) =0+6x,y^2 =6x,y^2

Passo 4

Finalmente derivamos fxx em relação a y para obter fxxy:
fxxy=partialpartial y(6x,y^2) =6xcdot 2y =12x,y

Passo 5

Agora partimos para as derivadas em y. Primeiro
fy=partialpartial y(3x y^4)+partialpartial y(x^3y^2) =12x,y^3+2x^3y

Passo 6

Derivando fy em relação a y obtemos
fyy=partialpartial y(12x,y^3)+partialpartial y(2x^3y) =36x,y^2+2x^3

Passo 7

Por fim, derivamos fyy em relação a y para achar fyyy:
fyyy=partialpartial y(36x,y^2+2x^3) =36xcdot 2y + 0 =72x,y

Resposta

fx x y=12x,y
fy y y=72x,y

Exercícios relacionados