Resolva os problemas de valores iniciais propostos e, na medida do possível, encontre os domínios das soluções obtidas.
.
Passo 1
A equação dada é
com condição inicial
. Isso é uma EDO de primeira ordem, e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.
Passo 2
Dividimos toda a equação por
(que nunca é zero) e também por
(considerando
), obtendo
Passo 3
Isolamos
e separamos as variáveis:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 6
Reescrevemos a solução implícita:
Passo 7
Para obter
explicitamente, isolamos o logaritmo:
Passo 8
Reconhecemos a definição da função de Lambert W: se
, então
. Assim,
Passo 9
Como o argumento de
é
, a solução existe para todo
. Entretanto, como a condição inicial está em
, o domínio maximal conectado contendo 1 é
.
Resposta
y(x)=W\bigl(e x^{-2}\bigr), domínio x>0