Resolva os problemas de valores iniciais propostos e, na medida do possível, encontre os domínios das soluções obtidas.
2 x y e^y+x^2 e^y(y+1) y^prime=0, y(1)=1.

Passo 1

A equação dada é 2xy e^y+x^2e^y(y+1)y'=0 com condição inicial y(1)=1. Isso é uma EDO de primeira ordem, e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Dividimos toda a equação por e^y (que nunca é zero) e também por x^2 (considerando xneq0), obtendo
(y+1)dydx + 2yx=0

Passo 3

Isolamos e separamos as variáveis:

Passo 4

Integramos ambos os lados:

Passo 5

Aplicamos a condição inicial :

Passo 6

Reescrevemos a solução implícita:

Passo 7

Para obter explicitamente, isolamos o logaritmo:

Passo 8

Reconhecemos a definição da função de Lambert W: se , então . Assim,

Passo 9

Como o argumento de W é e/x^2>0, a solução existe para todo xneq0. Entretanto, como a condição inicial está em x=1>0, o domínio maximal conectado contendo 1 é (0,infty).

Resposta

y(x)=W\bigl(e x^{-2}\bigr), domínio x>0

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