Determine as derivadas parciais indicadas
f(r, theta)=e^r theta sen theta, partial^3 fpartial r^2 partial theta=ftheta r r

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de terceira ordem
ftheta rr=partial^3 fpartial r^2partialtheta
para a função
f(r,theta)=e^rthetasintheta
Vamos usar as regras de diferenciação de funções produto e a cadeia para exponenciais.

Passo 2

Calcular ftheta=partial fpartialtheta.
Como f(r,theta)=e^rthetasintheta, aplicamos produto e cadeia:
ftheta =partialpartialthetal(e^rthetar)sintheta +e^rthetapartialpartialthetal(sinthetar) =r,e^rthetasintheta+e^rthetacostheta

Passo 3

Calcular ftheta r=partialpartial r(ftheta).
Temos
ftheta =r,e^rthetasintheta+e^rthetacostheta
Diferenciando em r:
ftheta r =e^rthetasintheta + r,theta,e^rthetasintheta +theta,e^rthetacostheta =e^rthetal(sintheta+rthetasintheta+thetacosthetar)

Passo 4

Calcular ftheta rr=partialpartial r(ftheta r).
Escrevendo
ftheta r =e^rthetal(sintheta+rthetasintheta+thetacosthetar),
aplicamos produto e cadeia:
ftheta rr =theta,e^rthetal(sintheta+rthetasintheta+thetacosthetar) +e^rthetal(thetasinthetar)
Agrupando termos:
ftheta rr =e^rthetal(thetasintheta +rtheta^2sintheta+theta^2costheta +thetasinthetar) =e^rthetal(2thetasintheta+rtheta^2sintheta+theta^2costhetar)

Resposta

ftheta rr =e^rthetal(2thetasintheta+rtheta^2sintheta+theta^2costhetar)

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