Determine as derivadas parciais indicadas
w=xy+2 z, partial^3 wpartial z partial y partial x e partial^3 wpartial x^2 partial y

Passo 1

O enunciado define
w = xy + 2z
e pede duas derivadas de terceira ordem:
  1. partial^3wpartial z,partial y,partial x, ou seja, diferenciar primeiro em x, depois em y e por fim em z.
  2. partial^3wpartial x^2,partial y, que podemos interpretar como diferenciar duas vezes em x e uma em y.

Passo 2

Calcular partial wpartial x. Como
w = x,(y+2z)^-1,
temos, tratando y e z como constantes,
partial wpartial x = (y+2z)^-1

Passo 3

Agora partial^2 wpartial y,partial x = partialpartial yl((y+2z)^-1r).
Usando a regra da cadeia para (y+2z)^-1, onde u=y+2z,
ddyl(u^-1r) = -,u^-2,dudy = -,(y+2z)^-2cdot1 = -,(y+2z)^-2

Passo 4

Finalmente
partial^3 wpartial z,partial y,partial x = partialpartial zl(-,(y+2z)^-2r)
De novo pela regra da cadeia, com u=y+2z,
ddzl(-,u^-2r) = -l(-2,u^-3r)dudz = 2cdot u^-3cdot2 = 4,(y+2z)^-3

Passo 5

Para partial^3wpartial x^2,partial y podemos ver que já no passo 2
partial wpartial x = (y+2z)^-1
é independente de x. Logo
partial^2 wpartial x^2 = 0
e qualquer derivada adicional em y continua zero:
partial^3 wpartial x^2,partial y = partialpartial y(0) = 0

Resposta

partial^3wpartial z,partial y,partial x = 4(y+2z)^3, partial^3wpartial x^2,partial y = 0

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