Determine as derivadas parciais indicadas
e
Passo 1
O enunciado define
e pede duas derivadas de terceira ordem:
-
, ou seja, diferenciar primeiro em , depois em e por fim em . -
, que podemos interpretar como diferenciar duas vezes em e uma em .
Passo 2
Calcular
. Como
temos, tratando
e
como constantes,
Passo 3
Agora
.
Usando a regra da cadeia para , onde
,
Usando a regra da cadeia para
Passo 4
Finalmente
De novo pela regra da cadeia, com
,
Passo 5
Para
podemos ver que já no passo 2
é independente de
. Logo
e qualquer derivada adicional em
continua zero: