Determine as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y de primeira ordem da função.
z=x^5+3 x^3 y^2+3 x y^4

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=x^5+3x^3y^2+3x y^4
O conteúdo que vamos usar é o de derivada parcial: ao calcular partial fpartial x tratamos y como constante e aplicamos a regra de potência em x; ao calcular partial fpartial y tratamos x como constante e aplicamos a regra de potência em y.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, derivamos cada termo em relação a x mantendo y fixo:
  • ddxl(x^5r)=5x^4.
  • ddxl(3x^3y^2r)=3cdot3x^2y^2=9x^2y^2.
  • ddxl(3x y^4r)=3y^4
    Somando, fica
partial fpartial x =5x^4+9x^2y^2+3y^4

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, derivamos cada termo em relação a y mantendo x fixo:
  • ddyl(x^5r)=0.
  • ddyl(3x^3y^2r)=3x^3cdot2y=6x^3y
  • ddyl(3x y^4r)=3xcdot4y^3=12x y^3
    Somando, fica
partial fpartial y =6x^3y+12x y^3

Resposta

partial fpartial x=5x^4+9x^2y^2+3y^4, partial fpartial y=6x^3y+12x y^3

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