Determine as derivadas parciais indicadas.
2) f(x, y)=e^x y^2 ; fx x y

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial
;fxxy=partialpartial yl(partial^2 fpartial x^2r)
para a função
;f(x,y)=e^x y^2
Vamos usar a regra da cadeia para cada derivação.

Passo 2

Primeiro, calculemos
;fx=partialpartial xe^x y^2
Pela regra da cadeia, a derivada do expoente x y^2 em relação a x é y^2. Logo,
fx = y^2,e^x y^2

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a x:
;fxx=partialpartial xl(y^2 e^x y^2r)
Aqui y^2 é constante em relação a x, e aplicamos a regra da cadeia em e^x y^2, obtendo outro fator y^2. Assim,
fxx = y^2cdot y^2,e^x y^2 = y^4,e^x y^2

Passo 4

Finalmente, derivamos fxx em relação a y:
fxxy =partialpartial yl(y^4,e^x y^2r)
Usamos a regra do produto:
  • Derivada de y^4 é 4y^3.
  • Derivada de e^x y^2 em relação a y é e^x y^2cdot(2xy) pela cadeia.
    Portanto,
fxxy =4y^3,e^x y^2 ;+; y^4,(2x y),e^x y^2 = e^x y^2l(4y^3 + 2x y^5r)

Resposta

fxxy(x,y) = e^x y^2l(4y^3 + 2x y^5r)

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