Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
(a) f(x, y)=e^x-y-y^2 cos (x^2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = e^{x - y} - y^{2} \cos(x^{2}) $. Aqui, estaremos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante.
A função é:
f
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de $ e^{x - y} $ em relação a $ x $:
x
  1. Derivada de $ -y^{2} \cos(x^{2}) $ em relação a $ x $:
partial fpartial x
Aplicando a regra da cadeia:
x
Portanto:
y
Somando os dois resultados:
f(x, y) = e^x - y - y^2 cos(x^2)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante.
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de $ e^{x - y} $ em relação a $ y $:
f
  1. Derivada de $ -y^{2} \cos(x^{2}) $ em relação a $ y $:
y
Somando os dois resultados:
partial fpartial y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = e^x - y + 2x y^2 sin(x^2)
partial fpartial y = -e^x - y - 2y cos(x^2)

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