Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(a)
.
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = e^{x - y} - y^{2} \cos(x^{2}) $. Aqui, estaremos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
- Derivada de $ e^{x - y} $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ -y^{2} \cos(x^{2}) $ em relação a $ x $:
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto:
Somando os dois resultados:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante.
Derivando termo a termo:
- Derivada de $ e^{x - y} $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ -y^{2} \cos(x^{2}) $ em relação a $ y $:
Somando os dois resultados:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: