Utilize coordenadas cilíndricas.
23. Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone z = raiz(x^2 + y^2) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria usando coordenadas cilíndricas. A gente precisa achar o volume de um sólido que está limitado por um cone dado por e pela esfera . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam o trabalho com figuras simétricas como cones e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as equações do cone e da esfera para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
E a distância ao cilindro é .

Passo 3

Transformando a equação do cone para coordenadas cilíndricas, fica:

Passo 4

Agora, transformamos a equação da esfera para coordenadas cilíndricas:
Isso nos ajuda a encontrar os limites de integração para e .

Passo 5

Vamos determinar onde o cone e a esfera se intersectam. Igualando as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Esse valor de nos dá o limite superior para na integral.

Passo 6

Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume :
Aqui, vai de 0 até , de 0 a , e de até .

Passo 7

Vamos integrar em ordem. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar em relação a . Dividimos a integral em duas partes:
Calculamos cada parte separadamente.

Passo 9

Primeira parte:
Fazendo a substituição , , então:
Avaliado de 0 a :

Passo 10

Segunda parte:
Avaliado de 0 a :

Passo 11

Juntando tudo, temos:

Resposta

O volume do sólido é:

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