Utilize coordenadas cilíndricas.
23. Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone
abaixo da esfera
.
23. Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria usando coordenadas cilíndricas. A gente precisa achar o volume de um sólido que está limitado por um cone dado por
e pela esfera
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam o trabalho com figuras simétricas como cones e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as equações do cone e da esfera para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
E a distância ao cilindro é
.
Passo 3
Transformando a equação do cone
para coordenadas cilíndricas, fica:
Passo 4
Agora, transformamos a equação da esfera
para coordenadas cilíndricas:
Isso nos ajuda a encontrar os limites de integração para
e
.
Passo 5
Vamos determinar onde o cone e a esfera se intersectam. Igualando as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Esse valor de
nos dá o limite superior para
na integral.
Passo 6
Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume
:
Aqui,
vai de 0 até
,
de 0 a
, e
de
até
.
Passo 7
Vamos integrar em ordem. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
. Dividimos a integral em duas partes:
Calculamos cada parte separadamente.
Passo 9
Primeira parte:
Fazendo a substituição
,
, então:
Avaliado de 0 a
:
Passo 10
Segunda parte:
Avaliado de 0 a
:
Passo 11
Juntando tudo, temos:
Resposta
O volume do sólido é: