Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y) = e^(x y^2) ; f_xx y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada parcial . Isso significa que vamos derivar a função três vezes: primeiro em relação a , depois de novo em relação a , e por último em relação a . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . A função é . Para derivar isso em relação a , usamos a regra da cadeia:
Aqui, multiplicamos o expoente pela função original .

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar . Temos:
Derivando em relação a :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente: derivada de em relação a é , e multiplicamos pelo que já estava na frente, resultando em .

Passo 4

Por último, vamos derivar em relação a para encontrar . Temos:
Derivando em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto para derivar e . A derivada de é e a derivada de em relação a é . Então, juntamos os termos.

Resposta

A derivada parcial é:

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