Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada parcial
. Isso significa que vamos derivar a função três vezes: primeiro em relação a
, depois de novo em relação a
, e por último em relação a
. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais e a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. A função é
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Aqui, multiplicamos o expoente
pela função original
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar
. Temos:
Derivando em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente: derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pelo
que já estava na frente, resultando em
.
Passo 4
Por último, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Temos:
Derivando em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
e
. A derivada de
é
e a derivada de
em relação a
é
. Então, juntamos os termos.
Resposta
A derivada parcial
é: