Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem .
f(x, y) = x^2 * y + x * raiz(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, especificamente derivadas de segunda ordem. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeiro em relação a e , e depois derivar novamente essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função .
A derivada parcial em relação a ( ) é obtida tratando como uma constante:
Já a derivada parcial em relação a ( ) é obtida tratando como uma constante:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Essas derivadas são obtidas derivando novamente as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiro, derivamos em relação a para obter :
Depois, derivamos em relação a para obter :
Em seguida, derivamos em relação a para obter :
Por fim, derivamos em relação a para obter :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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