Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_xy = u_yx.
(a) u = x^5 * y^4 - 3 * x^2 * y^3 + 2 * x^2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisamos verificar se as derivadas parciais mistas dessa função são iguais, ou seja, se . Isso está relacionado ao Teorema de Clairaut, que nos diz que, sob certas condições, as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Isso significa que vamos derivar cada termo da função em relação a , tratando como uma constante.
Calculando cada termo:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Isso significa derivar em relação a :
Calculando cada termo:
  • (porque não tem nesse termo)
Então:

Passo 4

Agora, vamos seguir o mesmo processo, mas na ordem inversa. Primeiro, encontramos a derivada parcial de em relação a , que é :
Calculando cada termo:
  • (porque não tem nesse termo)
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é :
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

Conferindo os resultados, temos que e . Portanto, , confirmando que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para a função dada.

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