Determine as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=x^{3} y^{5}-2 x y^{4} ; f_{x x}, f_{x y}, f_{y y}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x^{3}y^{5}-2xy^{4}.
O conteúdo é diferenciação parcial em funções de duas variáveis, usando a regra da potência e a regra do produto.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{5}\bigr) -2\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy^{4}\bigr) =3x^{2}y^{5}-2y^{4}.

Passo 3

A partir de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{5}-2y^{4}, obtemos:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{5}-2y^{4}\bigr) =6x\,y^{5},
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{5}-2y^{4}\bigr) =15x^{2}y^{4}-8y^{3}.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{5}\bigr) -2\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^{4}\bigr) =5x^{3}y^{4}-8x\,y^{3}.

Passo 5

A partir de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=5x^{3}y^{4}-8x\,y^{3}, obtemos:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(5x^{3}y^{4}-8x\,y^{3}\bigr) =20x^{3}y^{3}-24x\,y^{2}.

Resposta

f_{xx}=6x\,y^{5} f_{xy}=15x^{2}y^{4}-8y^{3} f_{yy}=20x^{3}y^{3}-24x\,y^{2}

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