Determine as derivadas parciais indicadas:
z=x e^{3 y} ; f_{x x}, f_{x y}, f_{y y}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=x\,e^{3y}. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial e as regras de derivação do produto e da função exponencial.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada parcial em relação a x. Mantendo y fixo, e^{3y} é constante, logo
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{3y}\bigr)=e^{3y}.

Passo 3

A partir de f_{x}, obtemos as derivadas de segunda ordem:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{3y}\bigr)=0,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{3y}\bigr)=3\,e^{3y}.

Passo 4

Agora calculamos a primeira derivada parcial em relação a y:
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{3y}\bigr)=x\cdot3\,e^{3y}=3x\,e^{3y}.
Derivando de novo em relação a y, temos
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x\,e^{3y}\bigr)=3x\cdot3\,e^{3y}=9x\,e^{3y}.

Resposta

f_{xx}=0,
f_{xy}=3\,e^{3y},
f_{yy}=9\,x\,e^{3y}.

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