Determine as derivadas parciais indicadas:
z=2 x y^{2}+3 x^{3} y ; f_{x x y}, f_{y y y}.

Passo 1

O enunciado nos dá
z(x,y) = 2\,x\,y^{2} + 3\,x^{3}\,y
e pede as derivadas parciais de terceira ordem \displaystyle \frac{\partial^{3}z}{\partial x^{2}\partial y} e \displaystyle \frac{\partial^{3}z}{\partial y^{3}}.
Vamos usar a definição de derivada parcial, diferenciando em cada variável de forma independente e em sequência.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial^{3}z}{\partial x^{2}\partial y}, procedemos assim:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2\,y^{2} + 9\,x^{2}y
\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = 18\,x\,y
\frac{\partial^{3}z}{\partial x^{2}\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(18\,x\,y\bigr) = 18\,x

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial^{3}z}{\partial y^{3}}, fazemos:
\frac{\partial z}{\partial y} = 4\,x\,y + 3\,x^{3}
\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = 4\,x
\frac{\partial^{3}z}{\partial y^{3}} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4\,x\bigr) = 0

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{3}z}{\partial x^{2}\partial y} = 18\,x \displaystyle \frac{\partial^{3}z}{\partial y^{3}} = 0

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