Determine as derivadas parciais indicadas.
(h) u=x^y / z ; partial^2 upartial y partial z

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista
partial^2 upartial y,partial z
de
u = x^y/z.
O conteúdo envolve regra da cadeia e produto, pois temos uma potência cujo expoente depende de y e z.

Passo 2

Reescrevemos u em forma exponencial para facilitar o uso da cadeia:
u = x^y/z = e^(y/z),ln x
Definimos
h(y,z) = yz,ln x,
de modo que
u = e^h(y,z).

Passo 3

Primeiro calculamos
partial upartial z
pela regra da cadeia.
partial hpartial z = partialpartial zl(yzln xr) = -yz^2,ln x,
portanto
partial upartial z = e^h,partial hpartial z = x^y/z,l(-yz^2ln xr)

Passo 4

Em seguida derivamos esse resultado em relação a y.
Chamamos
A = x^y/z, C = 1z^2ln x,
para escrever
partial upartial z = -,A,y,C.
Aplicando a regra do produto:
partial^2 upartial y,partial z = -partialpartial y(Acdot ycdot C) = -l(partial Apartial y,y,C + A,Cr)
Como
partial Apartial y = Acdotpartialpartial yl(yzln xr) = Acdotln xz,
substituímos abaixo.

Passo 5

Substituindo em detalhe,
partial^2 upartial y,partial z = -l(x^y/zln xz,y,ln xz^2 + x^y/zln xz^2r) = -,x^y/zl(y(ln x)^2z^3 + ln xz^2r)

Resposta

partial^2 upartial y,partial z = -,x^y/zl(y(ln x)^2z^3 + ln xz^2r)

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