Seja u=u(t) a temperatura no instante t de um corpo imerso em um meio de temperatura constante um. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de u é diretamente proporcional à diferença u-um, isto é, d ud t=-k(u-um). Considere um corpo aquecido a 120^circ C é posto em um ambiente a 30^circ C e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de 90^circ C.
a) Encontre a expressão de u como função de t
b) Em quanto tempo será atingida a temperatura de 45^circ C ?

Passo 1

O enunciado apresenta a lei de resfriamento de Newton
dudt = -kl(u - umr),
com um=30^circ C, condição inicial u(0)=120^circ C e a informação u(5)=90^circ C. Vamos achar a solução geral u(t) e depois determinar o tempo para u=45^circ C.

Passo 2

Separe variáveis e integre:
integral duu - um ;=;integral -k,dt Longrightarrow lnlvert u - umrvert = -,k,t + C1
Exponenciando obtemos
u(t) - um = C,e^-k t,
onde C = e^C1.

Passo 3

Use a condição inicial u(0)=120:
120 - 30 = Ccdot e^0 Longrightarrow C = 90

Passo 4

Use u(5)=90:
90 - 30 = 90,e^-5k Longrightarrow 60 = 90,e^-5k Longrightarrow e^-5k = tfrac23 Longrightarrow k = 15ln!l(tfrac32r)

Passo 5

Substituindo C e k na solução geral,
u(t) = 30 + 90,e^-k t = 30 + 90,e^-ln(3/2)5,t = 30 + 90l(tfrac23r)^t/5

Passo 6

Para achar o tempo em que u=45, resolva
45 = 30 + 90,e^-k t ;Longrightarrow; 15 = 90,e^-k t ;Longrightarrow; e^-k t = tfrac16 ;Longrightarrow; -,k,t = ln!l(tfrac16r)
t = -1kln!l(tfrac16r) = 5ln(3/2),ln(6) approx 22,1 min

Resposta

u(t) = 30 + 90,e^-ln(3/2)5,t
O corpo atinge 45^circ C em aproximadamente 22,1 minutos.

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