Uma população de mosquitos, na ausência de outros fatores, aumenta a uma razão em cada instante proporcional à população corrente.
a) Sabendo que a população dobra a cada semana e que no instante inicia t0=0 é de 200.000 indivíduos, encontre a expressão do número de indivíduos em função do tempo. Observação: Os dados do problema nos permitem dizer que
d Nd t=lambda N, com N(t+1)=2 N(t)
b) Resolva o mesmo problema do item (a), supondo agora que exista uma espécie de pássaros predadores, que comem 20.000 mosquitos por dia, isto é, para o mesmo lambda encontrado no item anterior, a população de mosquitos satisfaz a EDO
d Nd t=lambda N-140000
A população de mosquitos vai se tornar extinta ou não? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de um modelo de crescimento exponencial de mosquitos, sem fatores externos, descrito por
dNdt=lambda N,
com condição de que a população dobra a cada semana, ou seja
N(t+1)=2,N(t),
e N(0)=200000. No item (b) há predação constante de 20000 mosquitos por dia, i.e.\ 140000 por semana, levando à EDO não homogênea
dNdt=lambda N - 140000

Passo 2

Para o item (a) sabemos que a solução geral de
dNdt=lambda N
é
N(t)=N(0),e^lambda t
Como N(t+1)=N(t),e^lambda=2,N(t), temos e^lambda=2, logo
lambda=ln 2
Portanto
N(t)=200000,e^(ln 2),t=200000cdot2^t

Passo 3

No item (b) resolvemos
dNdt-lambda N=-140000,
com lambda=ln2. O fator integrante é e^-lambda t, então
ddtl(N,e^-lambda tr)=-140000,e^-lambda t
integramos:
N,e^-lambda t =integral -140000,e^-lambda t,dt =140000lambda,e^-lambda t+C
Multiplicando por e^lambda t:
N(t)=140000lambda+C,e^lambda t
Como N(0)=200000, tem-se
200000=140000lambda+C Longrightarrow C=200000-140000lambda
Logo
N(t) =140000ln2 +l(200000-140000ln2r),2^t

Passo 4

O equilíbrio da EDO não homogênea é
N^*=140000lambda=140000ln2approx201905,
e note que N(0)=200000<N^*. Assim dNdt|t=0=lambdacdot200000-140000<0, ou seja a população inicial já decresce e atinge N=0 em tempo finito. Portanto os mosquitos vão se extinguir.

Resposta

a) N(t)=200000cdot2^t
b) N(t)=140000ln2+l(200000-140000ln2r),2^t
A população torna-se extinta, pois N(0)<140000/ln2 implica decaimento até N=0.

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