Uma população de mosquitos, na ausência de outros fatores, aumenta a uma razão em cada instante proporcional à população corrente.
a) Sabendo que a população dobra a cada semana e que no instante inicia é de 200.000 indivíduos, encontre a expressão do número de indivíduos em função do tempo. Observação: Os dados do problema nos permitem dizer que
b) Resolva o mesmo problema do item (a), supondo agora que exista uma espécie de pássaros predadores, que comem 20.000 mosquitos por dia, isto é, para o mesmo encontrado no item anterior, a população de mosquitos satisfaz a EDO
A população de mosquitos vai se tornar extinta ou não? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado trata de um modelo de crescimento exponencial de mosquitos, sem fatores externos, descrito por
com condição de que a população dobra a cada semana, ou seja
e . No item (b) há predação constante de mosquitos por dia, i.e.\ por semana, levando à EDO não homogênea
Passo 2
Para o item (a) sabemos que a solução geral de
é
Como , temos , logo
Portanto
Passo 3
No item (b) resolvemos
com . O fator integrante é , então
integramos:
Multiplicando por :
Como , tem-se
Logo
Passo 4
O equilíbrio da EDO não homogênea é
e note que . Assim , ou seja a população inicial já decresce e atinge N=0 em tempo finito. Portanto os mosquitos vão se extinguir.
Resposta
a) N(t)=200000cdot2^t
b) N(t)=140000ln2+l(200000-140000ln2r),2^t
A população torna-se extinta, pois N(0)<140000/ln2 implica decaimento até N=0.