Encontre a solução dos seguintes PVIs:
ly^prime=e^2 x+y-1 y(0)=1

Passo 1

O PVI é
y' = e^2x + y - 1, y(0)=1
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato
y' + p(x),y = q(x)
Aqui temos p(x)=-1 e q(x)=e^2x-1. Vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão:
y' - y = e^2x - 1

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -1,dx = e^-x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
e^-xy' - e^-xy = e^-x(e^2x-1) ;Longrightarrow; ddxl(e^-xyr) = e^x - e^-x
Agora integramos ambos os lados:
integral ddxl(e^-xyr),dx = integral l(e^x - e^-xr),dx ;Longrightarrow; e^-xy = e^x + e^-x + C

Passo 5

Isolando y:
y = e^2x + 1 + C,e^x
Usamos a condição y(0)=1:
1 = e^0 + 1 + C,e^0 ;Longrightarrow; 1 = 1 + 1 + C ;Longrightarrow; C = -1

Passo 6

Substituindo C=-1 na solução geral, fica
y(x) = e^2x + 1 - e^x

Resposta

y(x) = e^2x - e^x + 1

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