Encontre a solução dos seguintes PVIs:
ly^prime+y tg x=x sen x cos x y(0)=2

Passo 1

O problema é um PVI de equação diferencial de primeira ordem linear:
y' + ytan x = xsin xcos x, y(0)=2
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!gl(integral tan x,dxgr) = exp!l(-ln|cos x|r) = 1cos x,
onde, como queremos a solução em torno de x=0, podemos tomar mu(x)=sec x.

Passo 3

Multiplicamos a equação por mu(x)=sec x:
sec x,y' + y,sec xtan x = xsin xcos x;sec x Longrightarrow sec x,y' + y,sec xtan x = xsin x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de ysec x, pois
ddxl(ysec xr) = y'sec x + ysec xtan x
Logo a equação fica
ddxl(ysec xr) = xsin x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
ysec x = integral xsin x,dx + C
Fazendo integração por partes em integral xsin x,dx, com u=x, dv=sin x,dx, obtém-se
integral xsin x,dx = -xcos x + integralcos x,dx = -xcos x + sin x
Portanto
ysec x = -xcos x + sin x + C

Passo 5

Isolando y:
y = cos x,l(-xcos x + sin x + Cr) = -xcos^2 x + sin xcos x + Ccos x
Agora usamos a condição inicial y(0)=2:
y(0) = -0cdotcos^2 0 + sin0cos0 + Ccos0 = C = 2

Resposta

boxedy(x) = -,xcos^2 x + sin xcos x + 2cos x

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