Determine as derivadas parciais indicadas.
R(s, t)=t e^{s i t} ; \quad R_{i}(0,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
R(s,t)=t\,e^{s\,i\,t}
e pede as derivadas parciais em (0,1). Vamos calcular
\displaystyle R_s=\frac{\partial R}{\partial s}
e
\displaystyle R_t=\frac{\partial R}{\partial t}
e depois avaliar cada uma em (s,t)=(0,1).

Passo 2

Para obter
\displaystyle R_s, tratamos t como constante e derivamos o fator exponencial:
R_s = t\;\frac{\partial}{\partial s}\Bigl(e^{s\,i\,t}\Bigr) = t\,(i\,t)\,e^{s\,i\,t} = i\,t^2\,e^{s\,i\,t}\,.

Passo 3

Agora avaliamos em (0,1):
R_s(0,1) = i\cdot(1)^2\,e^{0\cdot i\cdot1} = i\cdot1\cdot e^0 = i.

Passo 4

Para obter
\displaystyle R_t, aplicamos a regra do produto em t\,e^{s\,i\,t}:
R_t = 1\cdot e^{s\,i\,t} \;+\; t\;\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{s\,i\,t}\bigr) = e^{s\,i\,t} \;+\; t\,(s\,i)\,e^{s\,i\,t} = e^{s\,i\,t}\bigl(1 + i\,s\,t\bigr).

Passo 5

Avaliando em (0,1):
R_t(0,1) = e^{0\cdot i\cdot1}\bigl(1 + i\cdot0\cdot1\bigr) = e^0\cdot1 = 1.

Resposta

\displaystyle R_s(0,1)=i
\displaystyle R_t(0,1)=1

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