Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
f(x, y)=x^{4} y^{2}-x^{3} y ; \quad f_{x y}, f_{y x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{4}y^{2}-x^{3}y
e pede as derivadas parciais mistas f_{xy} e f_{yx}. Vamos usar definição de derivada parcial, mantendo a outra variável constante.

Passo 2

Para achar f_x, derivamos f em relação a x tratando y como constante. Aplicando a regra do poder e a regra do produto:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}y^{2}\bigr)\;-\;\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y\bigr) =4x^{3}y^{2}-3x^{2}y.

Passo 3

Agora derivamos f_x em relação a y para obter f_{xy}. Como x é constante, temos
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}y^{2}-3x^{2}y\bigr) =4x^{3}\cdot2y \;-\;3x^{2}\cdot1 =8x^{3}y-3x^{2}.

Passo 4

Para achar f_y, derivamos f em relação a y mantendo x fixo. Novamente usamos regra do poder e do produto:
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}y^{2}\bigr)\;-\;\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y\bigr) = x^{4}\cdot2y - x^{3}\cdot1 =2x^{4}y - x^{3}.

Passo 5

Em seguida derivamos f_y em relação a x para obter f_{yx}. Agora y é constante:
f_{yx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{4}y - x^{3}\bigr) =2\cdot4x^{3}y \;-\;3x^{2} =8x^{3}y-3x^{2}.

Passo 6

Observamos que
f_{xy}(x,y)=8x^{3}y-3x^{2} \quad\text{e}\quad f_{yx}(x,y)=8x^{3}y-3x^{2},
confirmando a igualdade das derivadas mistas.

Resposta

f_{xy}(x,y)=8x^{3}y-3x^{2},
f_{yx}(x,y)=8x^{3}y-3x^{2}.

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