Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
T=e^{-2} \cos \theta

Passo 1

O enunciado dá a função
T(r,\theta) = e^{-2r}\,\cos\theta
e pede todas as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos usar as regras de derivação parcial tratando uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra, aplicando a regra da cadeia para o fator e^{-2r}.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem de T em relação a r:
T_r = \frac{\partial}{\partial r}\bigl(e^{-2r}\cos\theta\bigr) = \bigl(\frac{d}{dr}e^{-2r}\bigr)\cos\theta = (-2)e^{-2r}\cos\theta.
Agora derivar novamente em relação a r para obter T_{rr}:
T_{rr} = \frac{\partial}{\partial r}\bigl(-2e^{-2r}\cos\theta\bigr) = -2\bigl(\frac{d}{dr}e^{-2r}\bigr)\cos\theta = -2\bigl(-2e^{-2r}\bigr)\cos\theta = 4e^{-2r}\cos\theta.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem de T em relação a \theta:
T_{\theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(e^{-2r}\cos\theta\bigr) = e^{-2r}\,\bigl(-\sin\theta\bigr) = -\,e^{-2r}\sin\theta.
Agora derivar novamente em relação a \theta para obter T_{\theta\theta}:
T_{\theta\theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(-e^{-2r}\sin\theta\bigr) = -\,e^{-2r}\cos\theta = -\,e^{-2r}\cos\theta.

Passo 4

Calcular as derivadas mistas T_{r\theta} e T_{\theta r}. Primeiro T_{r\theta}:
T_{r\theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(T_r\bigr) = \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(-2e^{-2r}\cos\theta\bigr) = -2e^{-2r}\,\bigl(-\sin\theta\bigr) = 2e^{-2r}\sin\theta.
Agora T_{\theta r}:
T_{\theta r} = \frac{\partial}{\partial r}\bigl(T_{\theta}\bigr) = \frac{\partial}{\partial r}\bigl(-e^{-2r}\sin\theta\bigr) = -\bigl(\frac{d}{dr}e^{-2r}\bigr)\sin\theta = -\bigl(-2e^{-2r}\bigr)\sin\theta = 2e^{-2r}\sin\theta.
Note que, conforme o teorema de Schwarz, T_{r\theta}=T_{\theta r}.

Resposta

T_{rr}=4e^{-2r}\cos\theta
T_{r\theta}=T_{\theta r}=2e^{-2r}\sin\theta
T_{\theta\theta}=-e^{-2r}\cos\theta

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