Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede todas as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos usar as regras de derivação parcial tratando uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra, aplicando a regra da cadeia para o fator
.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de primeira ordem de
em relação a
:
Agora derivar novamente em relação a
para obter
:
Passo 3
Calcular a derivada parcial de primeira ordem de
em relação a
:
Agora derivar novamente em relação a
para obter
:
Passo 4
Calcular as derivadas mistas
e
. Primeiro
:
Agora
:
Note que, conforme o teorema de Schwarz,
.