Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
F(\alpha, \beta)=\int_{0}^{\beta} \sqrt{t^{3}+1} d t

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
F(\alpha,\beta)=\int_{0}^{\beta}\sqrt{t^{3}+1}\,dt
e pede as derivadas parciais de primeira ordem.
Conteúdo: derivadas parciais em funções que envolvem integrais com limite variável, usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial \alpha}, observamos que o integrando \sqrt{t^{3}+1} não depende de \alpha e nem os limites da integral envolvem \alpha. Logo, F é constante em relação a \alpha e daí
\frac{\partial F}{\partial \alpha}=0.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial \beta}, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo que diz que, se
G(x)=\int_{a}^{\,x}g(t)\,dt,
então G'(x)=g(x). Aplicando com g(t)=\sqrt{t^{3}+1} e x=\beta, obtemos
\frac{\partial F}{\partial \beta} =\sqrt{\beta^{3}+1}.

Resposta

\frac{\partial F}{\partial \alpha}=0, \quad \frac{\partial F}{\partial \beta}=\sqrt{\beta^{3}+1}.

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