Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar uma derivada parcial específica da função
em um ponto específico, que é
. O conteúdo aqui envolve derivadas parciais, que são usadas para ver como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar essa fórmula no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a derivada parcial
. Isso quer dizer que vamos derivar a função
em relação a
, considerando
e
como constantes. A função é
. Para derivar isso em relação a
, vamos usar a regra da cadeia.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a
é
. Aqui,
. Então, a derivada de
em relação a
vai ser:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Como
e
são constantes quando derivamos em relação a
, a derivada de
e
em relação a
é zero. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
, temos:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores do ponto
na expressão de
:
Resposta
A derivada parcial
vale
.