Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2) ; f_z(0, 3, 4)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar uma derivada parcial específica da função em um ponto específico, que é . O conteúdo aqui envolve derivadas parciais, que são usadas para ver como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar essa fórmula no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a derivada parcial . Isso quer dizer que vamos derivar a função em relação a , considerando e como constantes. A função é . Para derivar isso em relação a , vamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é . Aqui, . Então, a derivada de em relação a vai ser:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Como e são constantes quando derivamos em relação a , a derivada de e em relação a é zero. A derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de , temos:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores do ponto na expressão de :

Resposta

A derivada parcial vale .

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