Encontre o comprimento exato das curvas abaixo:
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o comprimento exato da curva dada pela função no intervalo de . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o conceito de comprimento de arco de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e calcular a derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre dois pontos e :
Então, nosso objetivo é encontrar e depois substituir na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de em relação a :
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos . Lembre-se que a derivada de é :
Portanto, a derivada total é:
Passo 4
Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Esse integral nos dará o comprimento exato da curva no intervalo de a . Dependendo da complexidade, pode ser necessário utilizar técnicas de integração avançadas ou substituições trigonométricas para resolver exatamente.
Resposta
O comprimento exato da curva no intervalo de é dado pela integral: