Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos só o
mantendo
constante, e vice-versa. Para isso, vamos usar as regras de derivação que a gente conhece.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. Aqui, tratamos o
como uma constante.
Vamos derivar cada termo da função em relação a
:
- Para
: a derivada em relação a é (usamos a regra do expoente). - Para
: a derivada em relação a é (derivando resulta em , e multiplicamos pelo coeficiente). - Para
: a derivada em relação a é .
Então, somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. Aqui, tratamos o
como uma constante.
Derivando cada termo da função em relação a
:
- Para
: a derivada em relação a é (novamente, usando a regra do expoente). - Para
: a derivada em relação a é (a derivada de é 1). - Para
: a derivada em relação a é (porque é tratado como constante e não depende de ).
Assim, somando tudo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e