Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y) = x^3 * y^5 - 2 * x^2 * y + x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos só o mantendo constante, e vice-versa. Para isso, vamos usar as regras de derivação que a gente conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Aqui, tratamos o como uma constante.
Vamos derivar cada termo da função em relação a :
  1. Para : a derivada em relação a é (usamos a regra do expoente).
  2. Para : a derivada em relação a é (derivando resulta em , e multiplicamos pelo coeficiente).
  3. Para : a derivada em relação a é .
Então, somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Aqui, tratamos o como uma constante.
Derivando cada termo da função em relação a :
  1. Para : a derivada em relação a é (novamente, usando a regra do expoente).
  2. Para : a derivada em relação a é (a derivada de é 1).
  3. Para : a derivada em relação a é (porque é tratado como constante e não depende de ).
Assim, somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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