Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de uma função. A função dada é
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar entender como derivar uma função de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Para isso, tratamos
e
como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a é (porque é constante). - Derivada de
em relação a é (já que não tem ). - Derivada de
em relação a é .
Então, somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
Novamente, a função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Somando tudo:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Aqui,
e
são constantes.
A função continua:
Derivando termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a é (não tem ). - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, somando tudo:
Resposta
As derivadas parciais são: