Determine as derivadas parciais indicadas.
u = x*y + y*z + z*x ; u_x, u_y, u_z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de uma função. A função dada é . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar entender como derivar uma função de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Para isso, tratamos e como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  • Derivada de em relação a é (porque é constante).
  • Derivada de em relação a é (já que não tem ).
  • Derivada de em relação a é .
Então, somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, tratamos e como constantes.
Novamente, a função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Somando tudo:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , chamada de . Aqui, e são constantes.
A função continua:
Derivando termo a termo em relação a :
  • Derivada de em relação a é (não tem ).
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais são:

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