Determine as derivadas parciais indicadas.
z=(3 x y^2-x^4+1)^4 ; partial zpartial x, partial zpartial y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo multivariável onde derivamos funções de várias variáveis mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Para isso, vamos usar a regra da cadeia. A função é uma função composta: uma função interna elevada à quarta potência. A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é a derivada externa vezes a derivada interna.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial x = 4 (3xy^2 - x^4 + 1)^3 cdot partialpartial x (3xy^2 - x^4 + 1) :
Agora, vamos derivar a função interna em relação a .

Passo 4

Derivando a função interna:
partialpartial x (3xy^2 - x^4 + 1) = 3y^2 - 4x^3

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
partial zpartial x = 4 (3xy^2 - x^4 + 1)^3 cdot (3y^2 - 4x^3)

Passo 6

Agora, vamos encontrar partial zpartial y = 4 (3xy^2 - x^4 + 1)^3 cdot partialpartial y (3xy^2 - x^4 + 1) . Usamos novamente a regra da cadeia, mas agora derivando em relação a .

Passo 7

Derivando a função interna em relação a partialpartial y (3xy^2 - x^4 + 1) = 6xy :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada:
partial zpartial y = 4 (3xy^2 - x^4 + 1)^3 cdot 6xy

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 4 (3xy^2 - x^4 + 1)^3 cdot (3y^2 - 4x^3)
e
partial zpartial y = 24xy (3xy^2 - x^4 + 1)^3

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