Use diferenciais para aproximar o valor de f em um dado ponto.
f(x, y, z) = x * y^2 * sen(pi * z), (3.99, 4.98, 4.03)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e queremos usar diferenciais para aproximar o valor de em um ponto específico, que é . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a aproximação linear usando diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto próximo onde seja fácil calcular e suas derivadas. Vamos arredondar os valores do ponto dado para . Esse será o nosso ponto de referência .

Passo 3

Agora, calculamos o valor da função no ponto de referência:
Sabemos que porque de múltiplos de é zero. Então,

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e no ponto .
Derivada parcial em relação a :
No ponto :
Derivada parcial em relação a :
No ponto :
Derivada parcial em relação a :
No ponto :
(Lembre-se que )

Passo 5

Agora, podemos montar a aproximação linear usando os diferenciais:
Onde:
Substituindo os valores:

Resposta

Aproximadamente, o valor de é .

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