Determine as derivadas parciais indicadas.
u=xx+t ; partial upartial x, partial upartial t

Passo 1

Beleza! O enunciado nos dá a função e pede para encontrarmos as derivadas parciais de em relação a e a . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente, que ajuda a derivar funções que são frações.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de u = xx + t em relação a dudx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 , ou seja, f'(x) = 1 e g'(x) = 1 .
Primeiro, lembre-se que ao calcular uma derivada parcial em relação a partial upartial x = 1 cdot (x + t) - x cdot 1(x + t)^2 = (x + t - x)(x + t)^2 = t(x + t)^2 , tratamos como uma constante. A função fica então:
Para derivar isso, usamos a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de u = xx + t em relação a f'(t) = 0 e g'(t) = 1 , ou seja, partial upartial t = 0 cdot (x + t) - x cdot 1(x + t)^2 = -x(x + t)^2 .
Dessa vez, tratamos como uma constante. A função continua sendo:
Novamente, aplicamos a regra do quociente. Aqui, (que é constante em relação a ) e . Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:

Resposta

As derivadas parciais de partial upartial x = t(x + t)^2 e partial upartial t = -x(x + t)^2 são:

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