Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y) = e^(x y) cos(x) sen(y)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a questão que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com derivadas parciais, que são usadas para entender como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra permanece constante.
O que vamos precisar: Conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Também precisamos saber derivar funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a .

Passo 3

Aplicamos a regra do produto porque temos um produto de duas funções: e .
A regra do produto diz que:
Vamos identificar e :

Passo 4

Primeiro, derivamos em relação a .
Usamos a regra da cadeia:
Como é constante:
Então:

Passo 5

Agora, derivamos em relação a .
Como é uma constante em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra do produto:

Passo 7

Vamos simplificar:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a .

Passo 9

Aplicamos novamente a regra do produto porque temos um produto de duas funções: e .
Identificamos e :

Passo 10

Primeiro, derivamos em relação a .
Usamos a regra da cadeia:
Como é constante:
Então:

Passo 11

Agora, derivamos em relação a .
Como é uma constante em relação a :

Passo 12

Aplicando a regra do produto:

Passo 13

Vamos simplificar:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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