Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a questão que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com derivadas parciais, que são usadas para entender como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra permanece constante.
O que vamos precisar: Conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Também precisamos saber derivar funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a
.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto porque temos um produto de duas funções:
e
.
A regra do produto diz que:
Vamos identificar
e
:
Passo 4
Primeiro, derivamos
em relação a
.
Usamos a regra da cadeia:
Como
é constante:
Então:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
.
Como
é uma constante em relação a
:
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Vamos simplificar:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a
.
Passo 9
Aplicamos novamente a regra do produto porque temos um produto de duas funções:
e
.
Identificamos
e
:
Passo 10
Primeiro, derivamos
em relação a
.
Usamos a regra da cadeia:
Como
é constante:
Então:
Passo 11
Agora, derivamos
em relação a
.
Como
é uma constante em relação a
:
Passo 12
Aplicando a regra do produto:
Passo 13
Vamos simplificar:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e