Use indução matemática para provar que cada uma das afirmações abaixo é verdadeira para todo natural n \geq 1.
2 \cdot 2+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 2^{3}+\cdots+(n+1) 2^{n}=n 2^{n+1}.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo n\ge1 vale
\sum_{k=1}^{n}(k+1)\,2^{k} \;=\; n\,2^{n+1}.
O conteúdo é o princípio da indução: mostraremos o caso-base em n=1 e depois o passo indutivo de n para n+1.

Passo 2

(Caso-base) Para n=1 a soma do lado esquerdo é
\sum_{k=1}^{1}(k+1)\,2^{k} \;=\;(1+1)\,2^{1} \;=\;2\cdot2 \;=\;4,
e o lado direito é
1\cdot2^{1+1} \;=\;1\cdot2^{2} \;=\;4.
Logo a fórmula vale para n=1.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que a fórmula seja verdadeira para um certo n\ge1, isto é, que
\sum_{k=1}^{n}(k+1)\,2^{k} \;=\;n\,2^{n+1}.
Precisamos mostrar que então
\sum_{k=1}^{n+1}(k+1)\,2^{k} \;=\;(n+1)\,2^{n+2}.
De fato,
\sum_{k=1}^{n+1}(k+1)\,2^{k} =\sum_{k=1}^{n}(k+1)\,2^{k} \;+\;(n+2)\,2^{n+1}
pela hipótese indutiva isso é
n\,2^{n+1} \;+\;(n+2)\,2^{n+1} =\bigl(n+n+2\bigr)\,2^{n+1} =(2n+2)\,2^{n+1} =2\,(n+1)\,2^{n+1} =(n+1)\,2^{n+2}.
Isso completa o passo de n para n+1.

Resposta

Portanto, por indução matemática, a igualdade
\sum_{k=1}^{n}(k+1)\,2^{k} \;=\;n\,2^{n+1}
é válida para todo natural n\ge1.

Exercícios relacionados